spr.doc

Teoria

Energia potencjalna

Energia potencjalna jest to energia jaką posiada układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych[1], wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać aktualne rozmieszczenia ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero.[2]. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

Źródłem pola grawitacyjnego jest obiekt posiadający masę. W zależności od warunków zagadnienia rozpatruje się pole grawitacyjne jako pole jednorodne lub jako pole centralne.

W pobliżu powierzchni Ziemi [edytuj]

Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi, w rozpatrywanym obszarze, jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Wówczas za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wszystkie punkty na takiej samej wysokości mają wówczas także energię równą zero, powierzchnię tę nazywa się powierzchnią Ziemi. Przyrost energii potencjalnej grawitacji ciała jest równy pracy siły zewnętrznej, wykonanej przy jego podnoszeniu na wysokość h ruchem jednostajnym. Energia potencjalna grawitacji ciała o masie m umieszczonego na wysokość h nad poziom odniesienia (poziom ziemi) jest równa iloczynowi masy m, przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h

W centralnym polu grawitacyjnym

W zagadnieniach, w których trzeba rozpatrywać zmiany energii grawitacyjnej w skali porównywalnej do odległości od źródeł grawitacji (np. w lotach kosmicznych, oddziaływaniach międzyplanetarnych), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego. Za poziom odniesienia najwygodniej jest wówczas przyjąć nieskończoność, gdzie siła oddziaływania wynosi 0. Wyrażenie na pracę potrzebną do przeniesienia obiektu z pewnego punktu odległego o r od środka masy M do nieskończoności można wyznaczyć obliczając całkę

gdzie:

r – odległość od środka masy źródła pola grawitacyjnego do przyciąganego obiektu [m],

G – stała grawitacyjna [N×m2×kg-2],

M – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],

m – masa przenoszonego ciała [kg].

Za poziom odniesienia przyjęta została nieskończoność, z czego wynika, że w nieskończoności energia potencjalna ma wartość zero. Zatem w położeniu początkowym energia potencjalna, która rośnie w trakcie przenoszenia, musiała mieć wartość

Wzór ten jest prawdziwy dla sytuacji, gdy źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Pozostaje prawdziwy również dla kuli o symetrycznym rozkładzie masy, ale tylko na zewnątrz tej kuli.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnej kuli siła grawitacji zależy tylko od masy zawartej w części kuli od środka do danego ciała. W tej sytuacji, przyjmując że na powierzchni kuli energia jest równa 0, energia potencjalna osiąga w środku wartość:

A względem nieskończoności:

Wahadło Maxwella

Jest to duży krążek, na sztywno zamocowany na małej osi. Rozwija się powolutku w dół, po czym samo z powrotem podjeżdża do góry.

Powolny ruch wahadła w dół jest spowodowany dużym momentem bezwładności wahadła: znacznym udziałem energii ruchu obrotowego w całkowitej energii kinetycznej wahadła. O ile w cylindrze swobodnie się staczającym udział energii ruchu obrotowego w całkowitej energii kinetycznej wynosi 1/3, to dla dużego cylindra o promieniu R na małej osi r energia kinetyczna ruchu posuwistego wynosi 1/2mv2 a energia ruchu obrotowego 1/4mv2( R/r)2. v jest prędkością środka masy.

Wahadło spada z przyspieszeniem będącym "rozcieńczonym" przyspieszeniem grawitacyjnym: 2g(r/R)2.

Moment bezwładności

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość obrotową.

gdzie:

m - masa punktów ciała oddalonych od osi obrotu o długość r;

r - odległość tych punktów od osi obrotu.

Iloczyn mr^2  jest momentem bezwładności punktowego elementu ciała. Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML2. Zwykle mierzy się go w kgm2 . Posługując się pojęciem momentu bezwładności można wyrazić energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego w postaci

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner. Wynika ono z wpływu przesunięcia osi na momenty bezwładności i zboczenia (dewiacji, odśrodkowy), przy czym zakładamy że początek układu współrzędnych pokrywa się ze srodkiem masy ciała, więc pomijamy moment statyczny.

gdzie:

I – moment bezwładności względem osi równoległej,

Icm – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

d – odległość między osiami,

m – masa bryły.

Obliczenia

1 Dla wielkości r0, rk, rp, d wyliczyć niepewność standardową typu B.

Δ r0 = 0,0001[m]

Δ rk=0,0001[m]

Δ rp=0,0001[m]

Δd=0,0001[m]

2 Niepewność standardową wielkości złożonej r wyliczamy z zależności:

=1/4

=1/4

u( r)= 2,04E-05[m]

3. Dla wielkości t wyliczyć niepewność standardową typu A.

Dla pierścienia o m= 0,2588[kg]

S(t)==0,008119182[s]

Δteksperymentatora=0,2[s]

Δt=3S(t)+ Δteksperymentatora

u(t)= Δt/3^0,5= (3S(t)+ Δteksperymentatora)/3^0,5

u(t)= 0,139828{s}

Dla pierścienia o m= 0,3891 [kg]

t[s]                 (t-tśr)^2

S(t)== 0,011789119[s]

Δteksperymentatora=0,2[s]

Δt=3S(t)+ Δteksperymentatora

u(t)= Δt/3^0,5= (3S(t)+ Δteksperymentatora)/3^0,5

u(t)=0,150837{s}

Dla pierścienia o m= 0,517 [kg]

t[s]                 (t-tśr)^2

S(t)== 0,010041912 [s]

Δteksperymentatora=0,2[s]

Δt=3S(t)+ Δteksperymentatora

u(t)= Δt/3^0,5= (3S(t)+ Δteksperymentatora)/3^0,5

u(t)= 0,145596[s]

4. Niepewność standardową wielkości złożonej Id wyliczamy z zależności:

Obliczmy pochodne:

=2mr(gt^2/2h-1)

...