Obwód szeregowy RLC.pdf

(876 KB) Pobierz
Obwód szeregowy RLC
Zbigniew Kąkol
Kamil Kutorasiński
2022
Obwód szeregowy RLC
Autorzy/Autorki: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
Każdy obwód, poza indukcyjność
L
oraz pojemność
C
, ma także pewien opór
R
, przykładowo jest to opór drutu, z którego
nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w
obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w module
Oscylator
harmoniczny tłumiony,
przy czym współczynnik tłumienia
β
= 1/(2τ)
jest równy
R/2L
.
Drgania w obwodzie
RLC
można podtrzymać, jeżeli obwód będziemy zasilać zmienną SEM ze źródła zewnętrznego włączonego
do obwodu na przykład tak, jak pokazano na
Rys. 1.
Rysunek 1: Obwód
RLC
zawierający źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego
Jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym
U(t)
=
U
0
sinωt
to prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy
R
,
L
,
C
oraz źródło napięcia (SEM) ma postać
(1)
L
dI
+
RI
+
dt
Q
C
=
U
0
sinωt
(2)
Różniczkując to wyrażenie obustronnie po
dt
i podstawiając
I
=
dQ/dt
otrzymujemy równanie
L
d
lub
2
dt
I
2
+
R
dI
+
dt
I
C
=
ωU
0
cosωt
(3)
d
2
I
dt
2
+
R
dI
L
dt
+
I
LC
=
ωU
0
cosωt
L
(4)
Równanie to jest analogiczne do równania drgań wymuszonych (zob. moduł
Drgania wymuszone i rezonans-( 5 )
). Możemy więc
skorzystać z uzyskanych poprzednio wyników. Z tej analogii wynika, że rozwiązaniem równania
( 4 )
jest funkcja
I
=
I
0
sin(ωt −
φ)
Różnica faz jaka istnieje między napięciem i natężeniem prądu jest dana równaniem
(5)
tgφ
=
a amplituda prądu
I
0
wynosi
1
ωL−
ωC
(6)
R
I
0
=
√
R
2
+
(ωL−
1
)
ωC
U
0
2
(7)
Zauważmy, że to wyrażenie ma postać (prawa Ohma) przy czym stała proporcjonalności pomiędzy
U
0
i
I
0
− − − − − − −
2
−−−−−−−
1
Z
=
√
R
2
+
(ωL
−
ωC
)
(8)
pełni analogiczną rolę jak opór
R
w prawie Ohma. Wielkość
Z
nazywamy zawadą obwodu.
Zauważmy, że gdy obwód zawiera tylko kondensator i źródło sinusoidalnie zmiennego napięcia to zawada jest równa
Z
=
C
=
1
2
Z
=
X
C
=
1
ωC
(9)
Tę wielkość nazywamy opornością pojemnościową lub reaktancją pojemnościową. W takim obwodzie różnica faz pomiędzy
napięciem i natężeniem prądu wynosi
π/2
. Prąd "wyprzedza" napięcie na kondensatorze o
π/2
.
Natomiast gdyby obwód zawiera tylko cewkę i źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego, to zawada jest równa
Z
=
X
L
=
ωL
(10)
Tę wielkość nazywamy opornością indukcyjną lub reaktancją indukcyjną. Ponownie między napięciem i natężeniem prądu istnieje
różnica faz, równa
π/2
, ale teraz prąd "pozostaje" za napięciem na cewce o
π/2
.
Zauważmy, że w obwodzie
RLC
mamy do czynienia z szeregowym połączeniem oporów omowego, pojemnościowego i
indukcyjnego (
Rys. 1
), a mimo to ich opór zastępczy (zawada) nie jest sumą algebraiczną tych oporów tak jak w przypadku
łączenia szeregowego wielu oporów omowych. Ten fakt wynika ze wspomnianych przesunięć fazowych pomiędzy prądem i
napięciem. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć i w konsekwencji przy liczeniu zawady.
O obliczaniu zawady w obwodzie
RLC
możesz przeczytać w module
Zawada w obwodzie RLC.
ZADANIE
Zadanie 1: Obliczanie zawady obwodu
RLC
Treść zadania:
Oblicz teraz zawadę obwodu złożonego z opornika
R
= 10Ω
, pojemności
C
= 1pF
oraz indukcyjności
L
= 3μH
połączonych szeregowo, jeżeli układ jest zasilany z generatora o częstotliwości
f
= 100 MHz
. Jaka byłaby oporność
układu, gdyby w obwodzie nie występowały reaktancje, a wyłącznie oporniki omowe o takich samych opornościach?
Z
=
R
omowy
=
Rozwiązanie:
Dane:
R
= 10Ω
,
L
= 3μH = 3 ⋅ 10
−6
H
,
C
= 1pF = 1 ⋅ 10
−12
F
,
f
= 100 MHz = 1 ⋅ 10
8
Hz
.
2
Zawadę obwodu obliczamy z zależności
Z
=
√
R
2
+ (
X
L
−
X
C
)
− −−− −−
−− − − −− − −
gdzie
X
C
=
1
oraz
X
L
=
ωL
.
ωC
Podstawiając dane i uwzględniając, że
ω
= 2πf
otrzymujemy
X
L
= 1885Ω
,
X
C
= 1591Ω
oraz
Z
= 294Ω
.
Gdyby w obwodzie nie występowały reaktancje, a wyłącznie oporniki omowe o takich samych opornościach, to opór
zastępczy (wypadkowy) byłby sumą tych oporności równą
R
omowy
= 3486Ω
.
SYMULACJA
Symulacja 1: Obwód szeregowy RLC
Pobierz symulację
Program pozwala śledzić przebiegi czasowe spadków napięć na poszczególnych elementach obwodu R, L, C oraz porównać
je z napięciem zasilającym U(t) i prądem w obwodzie I(t). Parametry układu: R, L, C oraz częstotliwość napięcia
wymuszającego f można zmieniać w zadanym zakresie. W szczególności można tak dobrać częstotliwość f napięcia zasilania
lub częstotliwość własną obwodu (zamieniając L i C), aby zaobserwować zjawisko rezonansu napięć.
Autor: Zbigniew Kąkol, Jan Żukrowski
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie Autorstwa - Na tych samych warunkach 4.0.
3
Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej.
Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako
autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielona taka licencja.
Pełny tekst licencji dostępny na stronie
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl.
Data generacji dokumentu: 2022-06-24 11:43:08
Oryginalny dokument dostępny pod adresem:
https://pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=34367e02ec3fc2edcebc552614d50647
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin